背景与问题

美国的某些司机培训课程中的驾驶规则:

• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时, 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则”：
• 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志, 而不管车速如何

判断 "2秒准则" 与 “车身”规则是否一样;建立数学模型, 寻求更好的驾驶规则。

问题分析

常识：刹车距离与车速有关

假设

1. 刹车距离 $d$ 等于反应距离 $d_{1}$ 与制动距离 $d_{2}$ 之和
2. 反应距离 $d_{1}$ 与车速 $v$ 成正比 $t_{1}$ 为反应时间
3. 杀车时使用最大制动力 $F$, $\boldsymbol{F}$ 作功等于汽车动能的改变; 且 $F$ 与车的质量 $m$ 成正比

建模

由假设可推导得 $$ \begin{gathered} d=d_{1}+d_{2} \\ d_{1}=t_{1} v \\ F d_{2}=m v^{2} / 2 \quad F \propto m \\ d_{2}=k v^{2} \end{gathered} $$ 进而得到 $$ d=t_{1} v+k v^{2} $$

参数估计

反应时间 $t_1$的经验估计值为0.75秒;利用交通部门提供的一组实际数据拟合 $k$

最小二乘法 $\Rightarrow k=0.06 \Rightarrow$计算刹车距离、刹车时间

$$ d=t_{1} v+k v^{2}=0.75 v+0.06 v^{2} $$

“2秒准则”应修正为 “t 秒准则” $$ \begin{aligned} &\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text { 车速 (英里/小时) } & 0 \sim 10 & 10 \sim 40 & 40 \sim 60 & 60 \sim 80 \\ \hline t \text { (秒) } & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \end{array} \end{aligned} $$

来源

• 《数学模型(第五版)》(姜启源,谢金星,叶俊)